matemáticas Archivos

Entradas

Jerarquía de las operaciones: la clave para realizar ejercicios combinados

29/11/2022

Conocer acerca de la jerarquía de las operaciones te permite realizar operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división (e incluso de potencias y raíces) con la certeza de empezar por donde debes hacerlo. Esto te ayudará a obtener el resultado correcto y a resolver problemas de matemática con mayor facilidad.

Qué es la jerarquía de operaciones

La jerarquía de las operaciones, en matemáticas, son las reglas que establecen la secuencia o el orden en el que deben ser resueltas las operaciones combinadas en una expresión matemática.

Por ejemplo, observa la siguiente expresión:

Como ves, en esta expresión están combinadas las operaciones básicas de la aritmética, que son la adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división.

Si no sabes por dónde empezar puedes obtener un resultado completamente distinto al esperado.

Presta atención al siguiente ejemplo de cómo resolver una expresión con la jerarquía de operaciones y sin la jerarquía de operaciones:

Como puedes darte cuenta, es necesario usar la jerarquía de las operaciones para obtener el resultado correcto de las operaciones. Ahora veamos en qué consisten estas reglas de la jerarquía de las operaciones para que puedas seguirlas.

Cuáles son las reglas de la jerarquía de operaciones básicas
Al resolver operaciones matemáticas es muy importante que hagas las operaciones en el orden correcto, de acuerdo a la jerarquía que tienen. Si no lo haces es posible que termines con una respuesta errónea.

La idea básica de la jerarquía de las operaciones es que hagas algunas operaciones, como la multiplicación, antes que otras, como la suma.

Estas son las reglas de la jerarquía de operaciones:

Resuelve primero las multiplicaciones y las divisiones.
Luego resuelves las adiciones (sumas) o las sustracciones (restas).
Siempre debes resolverlo de izquierda a derecha.
Podemos hablar entonces de la regla MDAS, como una forma de recordar la jerarquía de operaciones.

Jerarquía de las operaciones

Por ejemplo, cuando tenemos una operación planteada como la siguiente:

5 + 3 x 9 = ?

Si ignoramos la regla MDAS, lo resolvemos así:
5 + 3 x 9 = ?

8 x 9 = 72

Ahora resolveremos la operación siguiendo la regla MDAS

- El resultado correcto de esta operación es 32.

Mira este otro ejemplo de jerarquización de operaciones.

Recuerda que vamos de izquierda a derecha, empezando con Multiplicación y División, para luego realizar Adiciones y Sustracciones.
Esta vez resolveremos lo siguiente:

16 + 3 – 45 ÷ 5 + 27 x 2

Cómo se aplica la ley de jerarquía de las operaciones básicas paso a paso

La jerarquía de operaciones se aplica siguiendo la ley MDAS que vimos en el apartado anterior.

Recuerda que primero realizamos las multiplicaciones y divisiones, y después pasamos a realizar las adiciones y sustracciones.

Además, comenzamos de izquierda a derecha.

En este apartado verás ejercicios resueltos de jerarquía de las operaciones básicas paso a paso.

Ejemplo 1:

65 + 7 – 40 + 3

Observa que en este ejemplo no tenemos ni multiplicaciones ni divisiones. Entonces, vamos a sumar o a restar de izquierda a derecha.

Veamos:

Operación	Procedimiento seguido
65 + 7 – 40 + 3	De izquierda a derecha: Adición
72 – 40 + 3	De izquierda a derecha: Sustracción
32 + 3 = 35	De izquierda a derecha: Adición

Ejemplo 2:

26 – 42 ÷ 6 + 3 x 5

En este caso sí tenemos multiplicaciones y divisiones. Entonces:

● Vamos a resolver las multiplicaciones y las divisiones primero, siempre de izquierda a derecha.

● Luego, vamos con las sumas y las restas, también de izquierda a derecha.

Observa:

Operación	Procedimiento seguido
26 – 42 ÷ 6 + 3 x 5	De izquierda a derecha: División
26 – 7 + 3 x 5	De izquierda a derecha: Multiplicación
26 – 7 + 15	De izquierda a derecha: Sustracción
19 + 15 = 34	De izquierda a derecha: Adición

Ejemplo 3:

94 – 6 x 7 + 5 x 8 – 12 ÷ 4

Aquí seguiremos con la regla MDAS, tal como lo hemos hecho en el ejemplo anterior.
Vamos a resolverlo paso a paso:

Operación	Procedimiento seguido
94 – 6 x 7 + 5 x 8 – 12 ÷ 4	De izquierda a derecha: Multiplicación
94 – 42 + 5 x 8 – 12 ÷ 4	De izquierda a derecha: Multiplicación
94 – 42 + 40 – 12 ÷ 4	De izquierda a derecha: División
94 – 42 + 40 – 3	De izquierda a derecha: Sustracción
52 + 40 – 3	De izquierda a derecha: Adición
92 – 3 = 89	Sustración

Ejemplo 4:

36 + 2 – 5 x 7 + 6 ÷ 3 + 2

En este ejercicio debes tener presente, como siempre, la regla MDAS que vimos anteriormente.

Observa cómo lo resolvemos:

Operación	Procedimiento seguido
36 + 2 – 5 x 7 + 6 ÷ 3 + 2	De izquierda a derecha: Multiplicación
36 + 2 – 35 + 6 ÷ 3 + 2	De izquierda a derecha: División
36 + 2 – 35 + 2 + 2	De izquierda a derecha: Adición
38 – 35 + 2 + 2	De izquierda a derecha: Sustracción
3 + 2 + 2	De izquierda a derecha: Adición
5 + 2 = 7	Adición

Ejemplo 5:

7 x 7 + 81 ÷ 3 – 54 ÷ 6 +25

Ten en cuenta la regla MDAS.

Veamos este paso a paso:

Operación	Procedimiento seguido
7 x 7 + 81 ÷ 3 – 54 ÷ 6 +25	De izquierda a derecha: Multiplicación
49 + 81 ÷ 3 – 54 ÷ 6 +25	De izquierda a derecha: División
49 + 27 – 54 ÷ 6 +25	De izquierda a derecha: División
49 + 27 – 9 +25	De izquierda a derecha: Adición
76 – 9 +25	De izquierda a derecha: Sustracción
67 +25 = 92	Adición

Jerarquía de operaciones ejemplos

Recuerda que para resolver una operación combinada en la que no existen signos de agrupación, realizamos lo siguiente:

Resolvemos las multiplicaciones y divisiones, si existen, de izquierda a derecha.
Resolvemos las adiciones y las sustracciones, si las hay, de izquierda a derecha.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1:

8 + 2 x 3 + 7 – 6 ÷ 2 =

Operación

Procedimiento realizado

8 + 2 x 3 + 7 – 6 ÷ 2 =

8 + 6 + 7 – 3

Primero realizamos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha:

2 x 3 = 6

6 ÷ 2 = 3

= 8 + 6 + 7 – 3

= 14 + 7 – 3

= 21 – 3

= 18

Luego realizamos las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha:

8 + 6 = 14

14 + 7 = 21

21 – 3 = 18

Ejemplo 2:

56 + 9 x 8 – 6 x 5 + 9 : 3 – 32 : 8 =

Operación

Procedimiento realizado

56 + 9 x 8 – 6 x 5 + 9 : 3 – 32 : 8 =

= 56 + 72 – 30 + 3 – 4

Iniciamos realizando de izquierda a derecha las multiplicaciones y divisiones:

9 x 8 = 72

6 x 5 = 30

9 : 3 = 3

32 : 8 = 4

= 56 + 72 – 30 + 3 – 4

= 128 – 30 + 3 – 4

= 98 + 3 – 4

= 101 – 4

= 97

Ahora realizamos de izquierda a derecha las adiciones y sustracciones:

56 + 72 = 128

128 – 30 = 98

98 + 3 = 101

101 – 4 = 97

Ejemplo 3:

2 + 19 + 23 x 12 – 14 : 2 x 3 – 5 x 12 + 8 + 9 x 6 =

Operación

Procedimiento realizado

2 + 19 + 23 x 12 – 14 : 2 x 3 – 5 x 12 + 8 + 9 x 6 =

= 2 + 19 + 276 – 21 – 60 + 8 + 54

Primero hacemos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

23 x 12 = 276

14 : 2 x 3 = 7 x 3 = 21

5 x 12 = 60

9 x 6 = 54

= 2 + 19 + 276 – 21 – 60 + 8 + 54

= 21 + 276 – 21 – 60 + 8 + 54

= 297 – 21 – 60 + 8 + 54

= 276 – 60 + 8 + 54

= 216 + 8 + 54

= 224 + 54

= 278

Realizamos de izquierda a derecha las adiciones y sustracciones:

2 + 19= 21

21 + 276 = 297

297 – 21 = 276

276 – 60 = 216

216 + 8 = 224

224 + 54 = 278

Problemas resueltos de ley de jerarquía de operaciones

Las operaciones combinadas son muy útiles en la vida cotidiana, son muchos los problemas que puedes resolver aplicando la jerarquía de las operaciones.

Veamos algunos casos en los que podemos aplicar los principios que hemos estudiado hasta el momento.

Problema 1

En un partido de baloncesto se han vendido un total de 1.200 entradas, de las cuales, 525 se han vendido a 32 euros cada una; 490 entradas a 28 euros cada una y el resto a 23 euros cada una. ¿Cuál ha sido el total recaudado en dicho partido?
Lo primero que haremos será traducir la información a dada a términos aritméticos.

Operación	Procedimiento realizado
525 x 32	525 entradas de 32 euros cada una, se traduce como 525 x 32.
490 x 28	490 entradas de 28 euros cada una se escribe como 490 x 28.
1.200 – (525 + 490) = 1.200 + 1.015 = 185	Restamos 1.200 y 1.015 para saber cuántas entradas cuestan 23 euros. 185 entradas de 23 euros cada una.
185 x 23	185 entradas de 23 euros cada una se escribe como 185 x 23.
525 x 32 + 490 x 28 + 185 x 23 = = 16.800 + 13.720 + 4.255	Sumamos 525 x 32 + 490 x 28 + 185 x 23. Luego, de izquierda a derecha realizamos las multiplicaciones.
16.800 + 13.720 + 4.255 = 34.775	De izquierda a derecha realizamos las adiciones.

El total recaudado en el partido fue de 34.775 euros.

Problema 2

Hoy Manuel compró 4 camisetas por 17 euros cada una, 3 pantalones por 23 euros cada una y 2 mochilas por 31 euros cada una. Al llegar a la caja la chica le informó que le harían un descuento de 12 euros. ¿Cuánto canceló Manuel luego de aplicado el descuento?

Operación	Procedimiento realizado
4 x 17	4 camisetas de 17 euros cada una se escribe como 4 x 17.
3 x 23	3 pantalones de 23 euros cada uno se traduce como 3 x 23.
2 x 31	2 mochilas de 31 euros cada una se escribe como 2 x 31.
4 x 17 + 3 x 23 + 2 x 31	Sumamos 4 x 17 más 3 x 23 más 2 x 31.
4 x 17 + 3 x 23 + 2 x 31 – 12	Restamos el descuento de 12 euros
4 x 17 + 3 x 23 + 2 x 31 – 12 = = 68 + 69 + 62 -12	De izquierda a derecha resolvemos las multiplicaciones.
68 + 69 + 62 -12 = 187	De izquierda a derecha resolvemos las adiciones y sustracciones.

Manuel canceló 187 euros en total.

Problema 3

Juan tenía en su billetera 6 billetes de 50 euros y 4 billetes de 20 euros. El fin de semana decidió ir con este dinero al centro comercial y compró un balón de fútbol por 35 euros y una cámara de audio y video por 250 euros. ¿Con cuánto dinero se quedó Juan Pablo luego de cancelar el balón y la cámara?

Operación	Procedimiento realizado
6 x 50 y 4 x 20	Seis billetes de 50 euros y cuatro de 20 euros, se escribe matemáticamente así: 6 x 50 y 4 x 20.
6 x 50 + 4 x 20	6 x 50 + 4 x 20 es la cantidad de dinero que tiene Juan Pablo.
6 x 50 + 4 x 20 – 35 – 250	6 x 50 + 4 x 20 – 35 – 250 es la cantidad de dinero que tiene Juan Pablo menos lo que gastó en el balón y la cámara.
6 x 50 + 4 x 20 – 35 – 250 = = 300 + 80 – 35 – 250	Resolviendo las multiplicaciones de izquierda a derecha.
300 + 80 – 35 – 250 = 380 – 35 -250 = 380 – 35 – 250 = 345 – 250 = 95	Realizando las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha

Juan después de pagar el balón y la cámara se quedó con 95 euros.

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis

Las operaciones básicas con paréntesis son expresiones numéricas en las que se combinan varias operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones).

Para resolver las operaciones básicas con paréntesis hay que cumplir unos sencillos pasos:

Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis
Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis:

Ejemplo 1:

(8 x 9) – (12 + 5 – 8) + 15 =

Operación

Procedimiento realizado

(8 x 9) – (12 + 5 – 8) + 15 = 72 – 9 + 15

Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis.

(8 x 9) = 72

(12 + 5 – 8) = 9

72 – 9 + 15 = 63 +15 = 78

Realizamos las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

Ejemplo 2:

5 x (9 x 12 – 18) – (15 : 3 – 1) =

Operación

Procedimiento realizado

5 x (9 x 12 – 18) – (15 : 3 – 1) + 15 =

= 5 x 90 – 4 +15

Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis.

(9 x 12 – 18) = 108 – 18 = 90

(15 : 3 – 1) = 5 – 1 = 4

5 x 90 – 4 + 15 = 450 – 4 +15

= 461

De izquierda a derecha realizamos primero la multiplicación y luego la sustracción y la adición.

Ejemplo 3:

2 x 3 + (81 : 9 – 5 + 3 x 2) – (6 x 3 – 24 : 2) + 1 =

Operación

Procedimiento realizado

2 x 3 + (81 : 9 – 5 + 3 x 2) – (6 x 3 – 24 : 2) + 1 =

= 2 x 3 + 10 – 6 + 1

Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis.

(81 : 9 – 5 + 3 x 2) = 9 -5 + 6

= 10

(6 x 3 – 24 : 2) = 18 – 12 = 6

2 x 3 + 10 – 6 + 1 =

= 6 + 10 – 6 + 1 = 11

De izquierda a derecha realizamos primero la multiplicación y luego las adiciones y sustracciones.

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis y corchetes.

Las operaciones básicas con paréntesis y corchetes combinan adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

Para resolver las operaciones básicas con paréntesis y corchetes hay que cumplir unos pasos muy sencillos. :

Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis.
Luego se realizan las operaciones que están dentro del corchete.
Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis y corchetes:

Ejemplo 1:

20 + [15 + (15 – 6) + 39]

Operación	Procedimiento realizado
20 + [15 + (15 – 6) + 39] = =20 + [15 + 9 +39]	Resolvemos la operación que está dentro del paréntesis. (15 – 6) = 9
= 20 + [15 + 9 + 39] = = 20 + 63	Ahora resolvemos las adiciones que están dentro de los corchetes.
= 20 + 63 = 83	Por último, hacemos: 20 + 63 = 83

Ejemplo 2:

[ 13 + (68 -24)] – (95 – 48)] + [6 + 7 +(72 -12) -23]

Operación	Procedimiento realizado
[ 13 + (68 -24)] – (90 – 48)] + [6 + 7 + (72 -12) – 23]= = [13 + 44 – 42] + [6 + 7 +60 – 23]	Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis. (68 – 24) = 44 (90 – 48) = 42 (72 – 12) = 60
= [13 + 44 – 42] + [6 + 7 +60 – 23] = 15 + 52	Luego, realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes.
15 + 52 = 67	Y finalizamos con: 15 + 52 = 67

Ejemplo 3:

3 x [ 9 – 5 + (3 x 5 – 6) – (2 + 15 : 3)] – [ (8 x 6 : 12) + (6 x 1)]

Operación

Procedimiento realizado

3 x [9 – 5 + (3 x 5 – 6) – (2 + 15 : 3)] -[ (8 x 6 : 12) + (6 x 1)] =

= 3 x [9 – 5 + 9 – 7] – [4 + 6]

Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis. Recuerda hacer primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

(3 x 5 – 6) = 15 – 6 = 9

(2 + 15 : 3) = 2 + 5 = 7

(8 x 6 : 12) = 48 : 12 = 4

(6 x 1) = 6

= 3 x [9 – 5 + 9 – 7] – [4 + 6]

= 3 x 6 – 10

Luego, realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes.

= 3 x 6 – 10 =

= 18 – 10 = 8

Y finalizamos con:

3 x 6 – 10 =

= 18 -10 = 8

Recuerda que realizamos primero la multiplicación y luego la sustracción.

Ley de jerarquía de operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves

Las operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves incorporan tres signos de agrupación y combinan operaciones como la adición, sustracción, multiplicación y división.

Para realizar las operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves hay que considerar los siguientes pasos:

Resolver primero las operaciones que estén dentro del paréntesis.
Luego se realizan las operaciones que están dentro del corchete.
Seguidamente se resuelven las operaciones que se encuentran entre las llaves.
Si aparecen varias operaciones seguidas, primero se hacen las multiplicaciones y divisiones y luego las adiciones y sustracciones.

Veamos algunos ejemplos de operaciones básicas con paréntesis, corchetes y llaves:

Ejemplo 1:

6 + {4 + 9 x [18 : 3 – 2 + 5 x (7 + 3 x 4)] + (4 x 2)} + (7 x 3)

Operación	Procedimiento realizado
6+{4 + 9 x [18 : 3 – 2 + 5 x (7 + 3 x 4)]+(4 x 2)}+(7 x 3) = = 6 + {4 + 9 x [18 : 3 – 2 + 5 x 19] + 8} + 21	Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis. Recuerda hacer primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. (7 + 3 x 4) = 7 + 12 =19 (4 x 2) = 8 (7 x 3) = 21
= 6 + {4 + 9 x [18 : 3 – 2 + 5 x 19] + 8} + 21 = 6 + { 4 + 9 x [ 6 – 2 + 95] + 8} + 21 = 6 + { 4 + 9 x 99 + 8} + 21	Ahora, realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes.
= 6 + { 4 + 9 x 99 + 8} + 21 = 6 + { 4 + 891 + 8} + 21 = 6 + 903 + 21	Luego resolvemos las operaciones entre las llaves. Recuerda realizar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
= 6 + 903 + 21 = 930	Finalizamos con: 6 + 903 + 21 = 930

Ejemplo 2

{ 5 + [ 9 : 3 + 6 x 5 + (23 – 8 : 2 + 5) + 7 x (5 + 6) – 1] + 6 x 10}

Operación	Procedimiento realizado
{5 + [9 : 3 + 6 x 5 + (23 – 8:2 + 5) + 7x (5 + 6) – 1] + 6 x 10} = {5 + [9 : 3 + 6 x 5 + 24 + 7 x 11 – 1] + 6 x 10}	Realizamos las operaciones que están dentro del paréntesis. Recuerda hacer primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. (23 – 8 : 2 + 5) = =23 – 4 + 5 = 24 (5 + 6) =11
= {5 + [9 : 3 + 6 x 5 + 24 + 7 x 11 – 1] + 6 x 10} = {5 + [3 + 30 + 24 + 77 – 1] + 6 x 10 = { 5 + 133 + 6 x 10}	A continuación, realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes.
= { 5 + 133 + 6 x 10} = { 5 +133 + 60} = 198	Resolvemos las operaciones entre las llaves. Recuerda realizar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

Ejemplo 3:

2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 8 x 4 – 2 x (2 x 3) + 5] – 1} + 4 x [100 : 5 – 3 x (2 x 3)]

Operación

Procedimiento realizado

2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 8 x 4 – 2 x (2 x 3) + 5] – 1} + 4 x [100 : 5 – 3 x (2 x 3)] =

= 2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 8 x 4 – 2 x 6 + 5] – 1} + 4 x [100 : 5 – 3 x 6]

Resolvemos las operaciones que están dentro del paréntesis.

(2 x 3) =6

= 2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 8 x 4 – 2 x 6 + 5] – 1} + 4 x [100 : 5 – 3 x 6]

= 2 + 9 x {8 + 5 x [4 + 32 – 12 + 5] – 1} + 4 x [20 – 18]

= 2 + 9 x {8 + 5 x 29 – 1} + 8

Luego realizamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. Recuerda realizar primero las multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha.

= 2 + 9 x {8 + 5 x 29 – 1} + 8

= 2 + 9 x {8 + 145 – 1} + 8

= 2 + 9 x 152 + 8

Resolvemos las operaciones entre las llaves. Recuerda realizar primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

= 2 + 9 x 152 + 8

= 2 + 1.368 + 8

= 1.378

Terminamos resolviendo

2 + 9 x 152 + 8 = 1.378

Ejercicios resueltos de ley de jerarquía con signos de agrupación

Recuerda que para resolver ejercicios de operaciones básicas en los que se encuentren signos de agrupación seguimos los siguientes pasos:

Empezamos resolviendo las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis.
Después resolvemos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes.
Seguimos con las operaciones que están dentro de las llaves.

Recuerda que, al resolver las operaciones dentro de cada signo de agrupación, debes seguir la regla MDAS:

Empiezas de isquierda a derecha.
Primero las Multiplicaciones y Divisiones.
Después las Sumas y Restas.

Ejercicio 1

10 + { ( 2 × 5 ) + [ 8 + (7 – 2) ] }

Operación	Procedimiento
10 + { ( 2 × 5 ) + [ 8 + (7 – 2) ] }	Resolvemos las operaciones que están entre los paréntesis.
10 + { 10 + [ 8 + 5 ] }	Resolvemos las operaciones que están entre los corchetes.
10 + { 10 + 13 }	Resolvemos las operaciones que están entre las llaves.
10 + 23 = 33	Sumamos.

Ejercicio 2

5 x 5 – {16 ÷ 2 – (3 – 1) – [15 – (2 x 5) ] + 16}

Operación	Procedimiento
5 x 5 – {16 ÷ 2 – (3 – 1) – [15 – (2 x 5) ] + 21}	Resolvemos las operaciones que están entre los paréntesis.
5 x 5 – {16 ÷ 2 – 2 – [15 – 10 ] + 21}	Resolvemos las operaciones que están entre los corchetes.
5 x 5 – {16 ÷ 2 – 2 – 5 + 21}	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
5 x 5 – {8 – 2 – 5 + 21}	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
5 x 5 – {6 – 5 + 21}	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
5 x 5 – {1 + 21}	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
5 x 5 – 22	Resolvemos las operaciones de izquierda a derecha.
25 – 22 = 3	Restamos.

Ejercicio 3

17 + { (8 x 3 – 4 + 7) – [ 5 – (4 – 2) ] – 1 } + 2 x 5

Operación	Procedimiento
17 + { (8 x 3 – 4 + 7) – [ 5 – (4 – 2) ] – 1 } + 2 x 5	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre los paréntesis.
17 + { (24 – 4 + 7) – [ 5 – 2 ] – 1 } + 2 x 5	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre los paréntesis.
17 + { (20 + 7) – [ 5 – 2 ] – 1 } + 2 x 5	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre los paréntesis.
17 + { 27 – [ 5 – 2 ] – 1 } + 2 x 5	Resolvemos las operaciones que están entre los corchetes.
17 + { 27 – 3 – 1 } + 2 x 5	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
17 + { 24 – 1 } + 2 x 5	Resolvemos, de izquierda a derecha, las operaciones que están entre las llaves.
17 + 23 + 2 x 5	Resolvemos las operaciones que nos quedan respetando la jerarquía.
17 + 23 + 10	Resolvemos de izquierda a derecha las operaciones.
40 + 10 = 50	Restamos.

Ley de jerarquía de operaciones con fracciones y potencias

En este apartado te explicaremos cuál es la jerarquía de las operaciones que debes seguir cuando tienes operaciones combinadas que implican potencias y fracciones.

Al igual que con los números naturales, las operaciones deben realizarse de izquierda a derecha. El orden es el siguiente:

Raíces y portencias (que pueden ser expresadas con un exponente).
Multiplicaciones y divisiones.
Sumas y restas.

En caso de haber algún signo de agrupación, se sigue igualmente el orden de paréntesis (), corchetes [] y llaves {}.

Ejemplo 1:

34 + 53 × 27

Operación	Procedimiento
34 + 53 × 27	Resolvemos las operaciones de izquierda a derecha.
34+1021=1×21+2×104×20	Sumamos fracciones.
34+1021=63+4084=10384	Continuamos la suma de fracciones.

Ejemplo 2:

65÷67–34×45

Operación	Procedimiento
65÷67–34×45	Resolvemos las persaciones de izquierda a derecha.
6×75×6–34×45=4230–34×45	Dividimos fracciones.
4230–34×45=4230–1220	Multiplicamos fracciones.
4230–1220=75–35	Simplificamos ⁴²₃₀ por 6 y ¹²₂₀por 4.
75–35=45	Restamos fracciones de igual denominador.

Ejemplo 3:

52+432+2581

Operación	Procedimiento
52+132+2516	Resolvemos, de izquierda a derecha, las potencias y las raíces.
52+19+2516	Resolvemos, de izquierda a derecha, las potencias y las raíces.
52+19+54	Resolvemos la operación que está dentro del corchete.
52÷1×4+9×59×4=52÷4936	Sumamos fracciones.
52÷4936=5×362×49=18090=9049	Dividimos fracciones y simplificamos la fracción ¹⁸⁰₉₀ por 2.

Fuente: https://www.mundoprimaria.com/

Estudiante de 15 años desarrolló una aplicación para incentivar el interés por las matemáticas

18/11/2022

Un estudiante de 15 años de edad desarrolló una aplicación para incentivar el interés por las matemáticas, a través de la cual los alumnos ponen a prueba sus conocimientos en cada ejercicio.

La aplicación se llama “Cálculo mental RD” disponible en Play Store, la cual fue presentada en el Politécnico Hermanas Mirabal, sector Los Girasoles Urbanización Palma Real, en medio de la semifinal olimpiada interna de matemáticas en el politécnico Hermanas Mirabal, Cálculo Mental.

Durante la actividad, los profesores del centro educativo indicaron que con la aplicación y otras dinámicas y juegos que implementan, inducen a los estudiantes a perder el miedo que tradicionalmente se le ha tenido a las matemáticas.

Al indicar que hay mucha motivación entre los estudiantes, señalaron que se necesita la reparación de unas 18 pantallas digitales y la estabilidad de la energía eléctrica.

Fuente: https://telenoticias.com.do/

Teorema de Pitágoras – Historia, demostración y ejemplos

12/05/2022

El teorema de Pitágoras puede ser considerado como el teorema más importante de la geometría. Este teorema nos permite utilizar una ecuación algebraica para resolver problemas geométricos. De acuerdo con el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Recordemos que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo y los catetos son los otros dos lados del triángulo.

A continuación, conoceremos un poco de historia de este teorema. Además, aprenderemos cómo demostrarlo y lo usaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.

Historia del teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos (569-500 a. C.) nació en la isla de Samos en Grecia y viajó mucho por Egipto, aprendiendo matemáticas y otras cosas. Se desconocen más detalles sobre cómo fueron sus primeros años. Pitágoras empezó a ser reconocido y a formarse un estatus al fundar un grupo conocido como la Hermandad de Pitágoras, que tenía como objetivo al estudio de las matemáticas.

La hermandad de Pitágoras tenía varios aspectos de un culto como por ejemplo, símbolos, rituales y oraciones. Además, Pitágoras creía que «el número gobierna el universo», y los miembros del grupo de Pitágoras dieron valores numéricos a muchos objetos e ideas. Estos valores numéricos, a su vez, estaban dotados de cualidades místicas y espirituales.

Una leyenda cuenta que cuando Pitágoras termino su famoso teorema, él sacrificó 100 bueyes. A pesar de que este teorema es atribuido a Pitágoras, no es posible conocer con certeza si es que él fue verdaderamente el autor real. El grupo de la Hermandad de Pitágoras trabajó en muchas pruebas geométricas, pero es difícil saber quién probó qué, ya que el grupo siempre trató de mantener en secreto sus hallazgos.

Desafortunadamente, este voto de secreto evitó que se conociera públicamente sobre una idea matemática importante. La Hermandad de Pitágoras había descubierto los números irracionales. Cuando consideramos a un triángulo rectángulo isósceles con catetos de medida 1, la hipotenusa medirá la raíz cuadrada 2.

Sin embargo, sabemos que este número no puede ser expresado como una longitud que se puede medir con partes fraccionarias, y eso perturbó profundamente a los pitagóricos, que creían que «Todo es número».

Fórmula del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras indica que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Por ejemplo, en el siguiente triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado c y los catetos son los lados a y b.

diagrama para demostracion de Pitágoras 1

Entonces, por el teorema de Pitágoras, tenemos:

Esta fórmula nos permite encontrar la longitud de la hipotenusa si es que conocemos la longitud de los dos catetos. Alternativamente, podemos usar la fórmula para encontrar la longitud de uno de los catetos si es que conocemos la longitud de la hipotenusa y el otro cateto.

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Existen varios métodos que pueden ser usados para demostrar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, los más comunes son la demostración de Pitágoras y la demostración a través del álgebra.

Demostración de Pitágoras

Podemos empezar con el siguiente triángulo rectángulo:

Las longitudes a y b representan a los catetos y la longitud c representa a la hipotenusa. Usando cuatro de estos triángulos, vamos a formar un cuadrado grande con lados de longitud $a+b$ :

diagrama para demostracion de Pitágoras 2

Los lados del cuadrado interno tienen una longitud de c ya que son iguales a las hipotenusas de los triángulos. Esto significa que su área es igual a ${{c}^2}$ .

Vamos a reorganizar a los triángulos de la siguiente manera:

diagrama para demostracion de Pitágoras 3

Esto forma a dos cuadrados con las áreas ${{a}^2}$ y ${{b}^2}$ .

El área de ambos cuadrado grandes formados es la misma en ambos casos. Dado que los triángulos usados son los mismos, el área de los cuadrados ${{a}^2}$ y ${{b}^2}$ es igual al área del cuadrado ${{c}^2}$ . Es decir, tenemos:

${{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$

Demostración usando álgebra

Podemos usar un diagrama similar al que usamos anteriormente. Cuatro triángulos rectángulos son usados para formar un cuadrado grande y un cuadrado interno con lados iguales a las hipotenusas de los triángulos.

demostrar teorema de Pitágoras usando algebra

Las longitudes a y b son los catetos de los triángulos y c es la hipotenusa. El cuadrado grande formado tiene lados de longitud $a+b$ . Esto significa que su área es igual a ${{(a+b)}^2}$

Dado que el cuadrado interno tiene lados de c, su área es igual a ${{c}^2}$ . Adicionalmente, podemos observar que el área del cuadrado grande es igual al área de los cuatro triángulos más el área del cuadrado interno. Esto significa que tenemos:

${{(a+b)}^2}=4(\frac{1}{2}\times a\times b)+{{c}^2}$

${{a}^2}+{{b}^2}+2ab=2ab+{{c}^2}$

${{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}$

Ejemplos de aplicación del teorema de Pitágoras

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo resolver problemas con el teorema de Pitágoras.

EJEMPLO 1Si es que tenemos el siguiente triángulo rectángulo, ¿cuál es el valor de X?

Solución: En este triángulo, 3 y 4 representan a los catetos y X representa a la hipotenusa. Entonces, usando el teorema de Pitágoras, tenemos:

${{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

${{c}^2}={{3}^2}+{{4}^2}$

${{c}^2}=9+16$

${{c}^2}=25$

$c=5$

El valor de X es igual a 5.

EJEMPLO 2

Encuentra el valor de Y en el siguiente triángulo rectángulo.

Solución: En este caso, tenemos que encontrar el valor de uno de los catetos del triángulo. Entonces, tenemos que usar el teorema de Pitágoras y resolver para a o para b:

${{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

${{13}^2}={{Y}^2}+{{12}^2}$

$169={{Y}^2}+144$

${{Y}^2}=169-144$

${{Y}^2}=25$

$Y=5$

El valor de Y es 5.

EJEMPLO 3

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 13 m y un cateto de 9 m. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?

Solución: Podemos reconocer los valores c=13 y a=9. Entonces, simplemente usamos el teorema de Pitágoras con estos valores y resolvemos para b que corresponde al valor del otro cateto:

${{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

${{13}^2}={{9}^2}+{{b}^2}$

$169=81+{{b}^2}$

${{b}^2}=169-81$

${{b}^2}=88$

$b=9.38$

La longitud del otro cateto es igual a 9.38 m.

EJEMPLO 4

Si es que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es igual a 128 m². ¿Cuál es la longitud de uno de los catetos?

Solución: Recordemos que un triángulo rectángulo isósceles es un triángulo que tiene un ángulo recto y que tiene dos catetos con la misma longitud. El siguiente es un diagrama de este triángulo:

Entonces, al aplicar el teorema de Pitágoras con este triángulo, tenemos lo siguiente:

${{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$

$128={{a}^2}+{{a}^2}$

$128=2{{a}^2}$

${{a}^2}=\frac{128}{2}$

${{a}^2}=64$

$a=8$

La longitud de uno de los catetos es igual a 8 m.

Fuente: https://www.neurochispas.com/

Maryam Mirzakhani, primera mujer en ganar la Medalla Fields

12/05/2022

La matemática iraní Maryam Mirzakhani se convirtió en la primera mujer en ganar la Medalla Fields, el prestigioso premio que otorga cada cuatro años la Unión Matemática Internacional (IMU) durante el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM).

En los 78 años de existencia del premio –incluyendo el premio otorgado en el ICM2014–, 56 grandes matemáticos han recibido la Medalla Fields: 55 hombres –aunque Grigori Perelman rehusó aceptarla en 2006– y una mujer.

Maryam Mirzajani (Teherán, Irán; 12 de mayo de 1977-Stanford, California, Estados Unidos; 14 de julio de 2017), también escrito Maryam Mirzakhani en el mundo anglosajón, fue una matemática iraní y profesora de matemáticas en la Universidad de Stanford. En 2014 fue galardonada con la Medalla Fields, siendo la primera mujer en recibir este premio equivalente al Nobel de las matemáticas.

Trayectoria

Maryam mirzakhani se graduó en Matemáticas en 1999 en la Universidad de Tecnología Sharif de Teherán. En 2004 se doctoró en la Universidad de Harvard. Desarrolló su carrera en los campos del espacio de Teichmüller, la geometría hiperbólica, la teoría ergódica y la geometría simpléctica. Tras hacer su tesis en la Universidad de Harvard, trabajó como investigadora en el Instituto Clay de Matemáticas y en la Universidad de Princeton.

Fue investigadora en la Universidad de Stanford (EE. UU.). Sus estudios abarcan impactantes y originales investigaciones sobre geometría y sistemas dinámicos. Su trabajo en superficies de Riemann y sus modelos espaciales conectan varias disciplinas matemáticas (Geometría hiperbólica, análisis complejo, topología y dinámica) e influyen en todas ellas. Profesora de matemáticas en la Universidad de Stanford desde septiembre de 2008 hasta su fallecimiento.

Mirzajani fue diagnosticada con cáncer de mama en 2013. Murió el 14 de julio de 2017. Le sobrevivieron su marido, Jan Vondrák, científico teórico de la computación, y su hija Anahita

Vida Personal

En 2008, Mirzakhani se casó con Jan Vondrák, un científico informático teórico y matemático aplicado, quien actualmente es profesor asociado en la Universidad de Stanford. Tienen una hija llamada Anahita. Mirzakhani vivía en Palo Alto, California.

Mirzakhani se describió a sí misma como una matemática “lenta”, y dijo que “hay que gastar algo de energía y esfuerzo para ver la belleza de las matemáticas”. Para resolver problemas, Mirzakhani dibujaba garabatos en hojas de papel y escribía fórmulas matemáticas alrededor de los dibujos. Su hija describió el trabajo de su madre como una “pintura”.

Ella declaró:

No tengo ninguna receta en particular [para desarrollar nuevas pruebas] … Es como estar perdido en una jungla y tratar de usar todo el conocimiento que puedas reunir para idear algunos trucos nuevos y, con un poco de suerte, podría encontrar una salida.

Reconocimientos

Medalla de oro, Olimpiada Internacional de Matemática, Hong Kong 1994.
Medalla de oro, Olimpiada Internacional de Matemática, Canada 1995.
Beca IPM, Teherán, Irán, 1995–1999.
Beca por mérito, Universidad de Harvard, 2003.
Beca Junior, Universidad de Harvard, 2003.
Beca de investigación, Instituto Clay de Matemáticas, 2004.
Premio Blumenthal de investigaciones avanzadas en matemáticas puras, 2009.
Invitada a disertar en el Congreso Internacional de Matemáticos sobre el tema de topología y sistemas dinámicos, 2010.
Premio Satter de la Sociedad Americana de Matemáticas, por sus contribuciones a la teoría de las superficies de Riemann y sus espacios modulares, 2013.
Premios de Investigación Simons, 2013.
Nombrada una de las diez “personas que importaron” por la revista Nature, 2014.
Premio de Investigación Clay, 2014.
Primera mujer galardonada con la Medalla Fields. El comité destacó “sus importantes aportaciones en el estudio de los espacios del módulo de las superficies de Riemann”, 2014. ⁵
Elegida como asociada extranjera de la Academia de Ciencias de Francia, 2015.
Elegida miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense (American Philosophical Society), 2015.
Academia Nacional de Ciencias, 2016.
Elegida miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y Ciencias, 2017.
El asteroide 321357 Mirzakhani fue nombrado en su memoria. El nombre oficial fue publicado por el Centro de Planetas Menores.

Fuente: wikipedia

Artes y matemáticas, una relación que potencia el aprendizaje

03/05/2022

Por Ariana Primavera

La geometría ha influenciado diversos estilos artísticos a lo largo de la historia. En el caso del Art Déco, Dan Klein, en su capítulo Art Déco y Funcionalismo de la Antología: Las Artes decorativas en Europa del Neoclasicismo al Art Déco, expone que, “La geometría siempre ha sido el análisis de la composición de las artes visuales. Instintivamente al estudiar lo que el ojo puede ver se tiene la tendencia a descomponer una imagen en sus partes geométricas constitutivas, cuadradas, triangulares o circulares a fin de encontrarles un sentido”.

A esto agregamos el célebre dibujo Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci en el 1490 y en pleno Renacimiento que se ha convertido en la mayor referencia de la representación geométrica en el arte.

Hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci, (Foto, Guioteca.com)

Así como Da Vinci, son muchos los artistas que han utilizado la geometría en sus obras a lo largo de la historia del arte. Kandinsky era uno de ellos, para quien la abstracción, la espiritualidad en el arte y la teoría de los colores se convirtieron en características claves de sus obras. Muchas de sus enseñanzas fueron transmitidas a los alumnos de la escuela Bauhaus de Alemania en las primeras décadas del siglo XX.

Los elementos de la geometría reciben gran importancia, tanto en su enseñanza como en su obra, principalmente el círculo, medio círculo, el ángulo, las líneas rectas y curvas. En sus clases de pintura Kandinsky aumentó su teoría de color con nuevos elementos de la psicología de la forma, llevándolo a desarrollar diversos estudios, especialmente en los puntos y tipos de línea, expuesto en su libro, Punto y Línea sobre el plano en 1926.

La inclinación de Kandinsky hacia la geometría se da por la alta relación de las ciencias y el arte, tanto es así, que en la actualidad sus obras son utilizadas para la enseñanza de las matemáticas y la comprensión del arte.

En base a esto, Mequè Edo, Directora del Departamento de Matemáticas y de las Ciencias Elementales de la Facultad de Educación de la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB), sostiene, “En infantil la observación, el análisis y la interpretación de obras de arte, y la producción de creaciones plásticas inspiradas en ellas, crean un contexto interdisciplinar en el que los alumnos aprenden de forma simultánea matemáticas, educación visual y plástica”.

Esta visión nos sugiere que podemos trabajar conjuntamente matemáticas y educación plástica en todas las etapas. Edo ha realizado diversos estudios, escritos y talleres acerca de la relación Arte y Geometría, obteniendo grandes resultados con la implementación de su método.

Métodos utilizados en la enseñanza de Matemáticas y Arte

En el área de la Educación, muchos maestros han utilizado el arte como método de enseñanza de las matemáticas. Malena Martín, en su Blog Aprendiendo Matemáticas, presenta una demostración del proceso de enseñanza con niños y obra de círculos concéntricos de Kandinsky. Explica: “Primero los niños observaron la lámina y expresaron verbalmente lo que veían en el cuadro. Así surgieron: manchas de colores, colores, cuadrados, círculos grandes, círculos pequeños, bolas, cuadrados, bolas aplastadas, ombligos de colores, roscos, pasteles de plastilina, muchos ojos, círculos pequeños dentro de círculos grandes, ruedas de colores”.

Círculos Concéntricos, Kandinsky (Foto, aprendiendomatematicas.com)

Después de seguir trabajando la observación de Círculos concéntricos en diferentes formatos y situaciones, se les propuso que hicieran su propia obra basada en la de Kandinsky.

Niños trabajando con obra de Kandinsky (Foto, aprendiendomatematicas.com)

Como se puede percibir en la imagen, los niños se muestran interesados y participativos. Este tipo de actividades logra grandes resultados, puesto que además de aprender de la geometría, los niños, tienen la capacidad de crear un mundo único y personal por sí mismos; ayudando a su desarrollo cognitivo.

Beneficios de las actividades artísticas en los niños

Algunos de los beneficios que las actividades artísticas pueden proporcionar a los niños y adolescentes es la creatividad, la paciencia, atención y concentración, la memorización, la psicomotricidad y la autoestima. Es oportuno destacar tres puntos importantes que también aplican para los adultos:

La creatividad les permite expresarse y mostrar el mundo real tal y como ellos lo ven, pero teniendo la oportunidad de combinar lo real con lo fantástico.
La psicomotricidad en general y en particular el área motora fina. La soltura en el manejo de los dedos y manos como herramientas fortalecen los músculos que los componen.
Aumenta la autoestima porque el niño se ve capaz de afrontar un reto y lograr su objetivo. Por ello es importante hacerles ver que la manualidad u obra de arte que han hecho no es desechable. Debemos valorar su esfuerzo y trabajo.

Un dato de gran importancia que podemos rescatar es la función del arte a nivel neurológico en el ser humano. Diversos estudios confirman que el arte trabaja en el hemisferio derecho del cerebro, es decir, el lado creativo de nuestra mente. De esta manera, los trabajos artísticos, manuales, visuales y sonoros, desarrollan la paciencia y la perseverancia.

En cambio, sabemos que el hemisferio izquierdo es el que trabaja la lógica, el pensamiento analítico, el orden y secuencia entre otras cuestiones del razonamiento humano. En cuestión de enseñanza y aprendizaje, se tiende a dividir ambos hemisferios y usarlo de manera separada, dejando a un lado el aporte que se puede dar usando ambos hemisferios al mismo tiempo.

Y sé que te preguntarás, como se puede logra esto, es muy simple, en el nivel inicial, a los niños se les enseña con actividades de aprendizaje, cantando, pintando y jugando, es decir, es mucho más fácil, aprender los días de las semanas cantando, o los números pintando y todo esto mientras jugamos y nos divertimos, pero el ejercicio en la memoria es vital y queda grabado de por vida.

En definitiva, el aporte del hemisferio derecho del cerebro al gris hemisferio izquierdo, ayuda a potenciar el aprendizaje de una manera más ligera y eficaz.

Entender la importancia del arte en la vida del ser humano y su interacción con nuestro entorno nos puede llevar a lograr un mejor desarrollo en nuestro día a día, a nivel personal y profesional, además de reconsiderar la valoración del artista en nuestra sociedad.

Cómo enseñar gráficos de barra a niños de primaria

20/10/2021

Los gráficos son una manera de representar visualmente datos, que nos ayuda a comprenderlos mejor y más rápidamente. Y el diagrama de barras o gráfica de barras es uno de los gráficos más sencillos y también más utilizados. Seguro que los has visto muchas veces en el periódico o en la televisión, cuando se habla de estadísticas.

En este post te vamos a explicar qué son los diagramas de barras, para qué sirven, cómo interpretarlos y cómo hacer tu mismo un gráfico de barras.

¿Qué es un diagrama de barras?

Un diagrama de barras es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos.

Este tipo de gráficos están formados por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores que representan.

¿Para qué sirve un diagrama de barras?

Los diagramas de barras sirven para comparar dos o más valores.

Elementos que lo componen

Está compuesto por dos ejes:

Eje de abscisas o eje horizontal, representado con la letra x;
Eje de ordenadas o eje vertical, representado con la letra y.

En el eje de abscisas se colocan los valores de la variable. Una variable es una característica o cualidad de un individuo o elemento que puede adquirir diferentes valores que pueden medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, su color de pelo, el lugar de nacimiento, su estatura, etc. Las variables pueden ser cualitativas, si no pueden ser calculadas con números: por ejemplo el color de pelo (rubio, moreno, etc.), el lugar de nacimiento (Madrid, Barcelona, Valencia, etc.). Si pueden ser medidas con números, se llaman cuantitativas (la altura, el peso, la cantidad de personas que viven en un lugar, etc.)

En el eje de ordenadas se colocan las barras proporcionales a la frecuencia del dato. La frecuencia es la cantidad de veces que la variable se repite durante un experimento o muestra estadística. Pongamos un ejemplo: hacemos una encuesta a un grupo de 110 personas y les preguntamos su color de pelo; 50 nos responden que tienen el pelo negro, 3o castaño, 20 rubio y 10 son pelirrojos. Entonces tendremos que la frecuencia de la variable «negro» es 50; la de la variable «castaño» es 30, etc. El diagrama sería así:

Colocando la variable en el eje de abscisas y la frecuencia en el eje de ordenadas obtendremos un diagrama de barras vertical. Si en cambio lo invertimos, colocando la variable en el eje de ordenadas y la frecuencia en el eje de abscisas, tendremos un diagrama de barras horizontal:

Cómo hacer un diagrama de barras

En este vídeo está muy bien explicado, pero vamos a explicarlo con detalle también por escrito con un ejemplo. Hemos hecho una encuesta entre los alumnos de una clase de primaria, preguntándoles cuál es su deporte favorito. Estos son los datos que hemos obtenido:

Ahora vamos a realizar el diagrama usando estos datos:

Para elaborar un gráfico de barras necesitamos tener los datos: las variables y la frecuencia.
Trazamos dos rectas perpendiculares (el eje de abscisas y el eje de ordenadas).
En uno de los ejes pondremos las variables, es decir los deportes: fútbol, básquetbol, voleibol, tenis.
En el otro eje pondremos una serie de valores que nos servirán para representar las frecuencias. Podemos organizarlas como queramos, comenzando siempre desde 0 (cero), siendo la posición del 0 la intersección entre las dos rectas.
Ahora vamos a dibujar las barras que representan los valores de cada variable. Cada barra llegará hasta el punto donde se encuentra el valor de la frecuencia de la variable que representa. Por ejemplo la barra que corresponde a la variable «fútbol» debe llegar hasta el punto en el que se encuentra el número 10. Las barras tienen que tener el mismo ancho y no deben superponerse unas a otras.

Tipos de diagrama de barras

Existen diferentes tipos de gráficas de barras:

Gráfico de barras sencillo

Representa los datos de una única serie o conjunto de datos. Los ejemplos que hemos visto hasta ahora son de este tipo.

Gráfico de barras agrupado

Compara los datos de dos o más series o conjuntos de datos. Supongamos que hemos hecho la encuesta sobre los deportes favoritos en dos clases de primaria, la segunda y la tercera. Vamos a representar a cada clase con un color diferente, colocando dos barras (una de cada color) por cada variante:

Gráfico de barras apilado

También sirve para representar dos o más series o conjuntos de datos, pero las barras que representan las frecuencias de cada variable se apilan unas sobre otras. Este tipo de gráfico permite tener una visión comparativa rápida de los totales de cada variable -a cuántos niños les gusta el fútbol, a cuántos el básquetbol, etc.- pero es menos clara la comparación entre los dos conjuntos (las dos clases).

Fuente:pequeocio.com

3 profesores que están innovando con sus clases de Matemática

20/07/2021

Con videojuegos, canciones y videos informativos, estos docentes reinventaron sus clases de Matemática para generar aprendizajes significativos.

Innovar es una necesidad al educar, sobre todo bajo el contexto de pandemia. Para lograr el desarrollo de competencias y habilidades en los/as estudiantes, se debe apelar a que ellos/as mismos/as se involucren en su aprendizaje.

En materias como Matemática, es clave innovar para generar un aprendizaje significativo

Gracias a la indagación de nuevas ideas, estos docentes dieron soluciones a problemas, cambiaron contextos y la práctica tradicional de la enseñanza. Con la finalidad de que sus estudiantes sean personas más críticas, analíticas y reflexivas:

1. Fabiola Bolaños:

Esta profesora de matemática fue finalista del Global Teacher Prize Chile en 2016 y se desempeña como profesora de matemática en el Liceo Bicentenario Colegio Cardenal Raúl Silva Henríquez. Actualmente, el liceo cuenta con un 94,4% de vulnerabilidad. Ubicado en la región de Arica y Parinacota, en el sector norte de la ciudad.

El objetivo de esta profesora es enseñar y concientizar a la comunidad ariqueña con un video, realizado en conjunto con sus estudiantes.

Esta profesora ocupó el contenido curricular: “Crecimiento y decrecimiento de cantidades”, para relacionarlo con la crisis que ha definido el año 2020, la pandemia por Covid-19. Así, lograron relacionar –en equipo– la expansión alarmante que puede existir con el contagio si no hay un cuidado de por medio, con la matemática.

La profesora decidió aplicar la asignatura a problemas de la vida diaria, para que sus estudiantes, a través del aprendizaje significativo, pudieran entender el mundo que los rodea. Esta docente, a través de esta iniciativa, crea capacidades, habilidades y competencias para que sus estudiantes afronten la situación; al contextualizar la matemática con el Covid-19.

2. Javier Domínguez:

Un profesor que une la matemática, la música y aplica la teoría de las inteligencias múltiples. Trabaja en el Colegio Miraflores de Ourense, en Galicia, España. Junto a sus estudiantes han cantado sobre números, pusieron ritmo a los polígonos y grabaron un disco solidario cuyos beneficios fueron destinados a la Cruz Roja.

Este proyecto se llamó “Matemática solidaria”; el objetivo principal del proyecto era aprender geometría, los decimales y los sistemas de medida de otra forma. Además, enriquecieron su cultura musical ya que las canciones –que profesor y alumnos preparaban– fueron versiones de éxitos de las décadas de 1980 y 1990.

Por otro lado, la innovación también se presenta en la formación de valores con Matemática: aprendieron la importancia de ayudar a otros/as y entre ellos/as, trabajar en equipo, ser solidarios/as y esforzarse por los demás.

El recorrido a lo largo de los meses se plasmó en varios videos del grupo, bautizado como Os Pequepouchas, que subieron a YouTube. A final de curso, los/as estudiantes se encargaron de la comercialización de un CD, a través de un proyecto con distintas áreas de trabajo –a mediados del mes de junio 2020– y el centro entregó a la Cruz Roja Orense el total recaudado (1.000 euros).

3. Juan Carvajal:

A través de recursos como juegos de mesa, pizarras interactivas, celulares, tablets, disfraces y otros, este profesor de Enseñanza Básica enseña de manera lúdica y contextualizada con la Matemática. Este docente trabaja en la Escuela Villa Las Peñas, en Mulchén, y el 98% de sus estudiantes se encuentra en situación de vulnerabilidad.

Ha despertado el interés de sus estudiantes potenciado el aprendizaje de contenidos propios de su asignatura y también ha logrado desarrollar habilidades blandas.

Pese a las dificultades del entorno, a través de la tecnología ha hecho brillar a sus estudiantes, por eso ha sido semifinalista en dos oportunidades del Global Teacher Prize Chile y ganador –en 2019– del “Premio Elige Educar Innovación Regional”.

En 2019 creó una aplicación para celulares y tablets llamada Matlapp, la cual utiliza en sus clases junto a un tablero de mesa con el que los estudiantes juegan. Juan, además, visita zonas cercanas a la escuela para que ellos experimenten la Matemática de manera concreta, resolviendo problemas y desafíos.

El profesor apunta, a través de esta metodología, a generar conciencia, fomentar la comprensión de la cosmovisión mapuche y su relación con el entorno. A través del trabajo contextualizado, Juan espera seguir enseñando Matemática y promoviendo la integración de otras disciplinas a través del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP).

Fuente: eligeeducar.cl

El cerebro usa las matemáticas para interpretar el mundo

01/11/2019

Aplica el cálculo de probabilidades para determinar las causas de lo que ocurre a nuestro alrededor

El teorema de Bayes guía nuestro comportamiento en el día a día

“Las mates no son mi fuerte” es una frase socialmente aceptada que incluso despierta simpatía. Y para muchos escolares esta asignatura es una fuente de estrés en el colegio. Es más, para para algunas personas la guerra con los números ha sobrepasado los tiempos escolares y se ha convertido en una auténtica fobia a la que los psicólogos han puesto nombre: “aritmofobia”. En estos casos extremos, los números provocan palpitaciones e incluso sudoración.

Pese a la mala fama de las matemáticas, curiosamente, nuestro cerebro es un experto a la hora de utilizarlas, aunque la mayoría ni nos enteremos. De hecho, lo hace constantemente. No se trata de comprobar únicamente si nos han dado bien el cambio cuando compramos algo. Su habilidad va mucho más allá. Por torpes que creamos ser, nuestro cerebro es especialmente bueno en el cálculo de probabilidades, según ha descubierto una investigación realizada en la Universidad de Princeton y publicada en ” Journal of Neuroscience”. Esos cálculos guían nuestro comportamiento en el día a día, y los utilizamos, sin saberlo, a la hora de cruzar una calle como a la hora de tomar decisiones. Podría decirse que más que una asignatura son una cuestión de vida o muerte. Al menos para nuestros antepasados

Según comprobaron los investigadores, nuestro cerebro puede rastrear con precisión la probabilidad de varias explicaciones diferentes de lo que vemos a nuestro alrededor. Y esta habilidad se localiza en una zona del cerebro situada detrás de los ojos, denominada corteza orbitofrontal. Aunque esta zona ha sido objeto de muchas investigaciones, sus funciones concretas no están del todo claras. Al parecer, esta zona del cerebro se ocupa del procesamiento y regulación de los estados afectivos y de la conducta y es especialmente sensible a la recompensa y el castigo. Está involucrada, como ya se sabía antes de esta investigación, en la detección de cambios en el ambiente. tanto positivos como negativos, que puedan suponer un beneficio o un riesgo, lo que permite ajustar el comportamiento de forma rápida. Y parece ser crítica en la toma de decisiones en situaciones inciertas.

Y es que, como explican los investigadores, “nuestro mundo está gobernado por causas ocultas (o latentes) que no podemos observar, pero que generan lo que vemos a nuestro alrededor”. Una gama de los procesos cognitivos de alto nivel que nuestro cerebro lleva a cabo requiere basarse en una distribución de probabilidad sobre las posibles causas que podrían estar generando lo que ocurre en el mundo que percibimos. Y utilizando resonancia magnética funcional, los investigadores han demostrado que esas inferencias probabilísticas, o distribución de creencias sobre las causas latentes, tiene lugar en la corteza orbitofrontal.

El cálculo de probabilidad sobre causas latentes requiere el uso, por parte del cerebro, del teorema de Bayes. Da igual que no recordemos que este teorema nos permite averiguar, una vez que ha ocurrido un suceso, la probabilidad de que haya sido causado por otro. Nuestro cerebro lo utiliza constantemente. Y lo hacía incluso antes de que el matemático y ministro presbiteriano Thomas Bayes enunciara en 1763 este famoso teorema que lleva su nombre.

Para llegar a esta conclusión, los investigadores de Princeton encargaron a los participantes que dedujeran las probabilidades de cuatro posibles causas latentes para explicar un suceso, sobre la base de sus observaciones. Stephanie Chan, que encabeza el trabajo, planteó la hipótesis de que “el cerebro realiza un seguimiento de estas posibilidades en una forma que es más simple que una descripción completa de la situación, pero más complejo que una sola explicación”. Y propone que nuestro cerebro calcula una distribución de probabilidades para cada una de muchas posibilidades distintas que podrían explicar lo que vemos.

De forma intuitiva

Para averiguar dónde y cómo el cerebro llevaba a cabo el cálculo de estas probabilidades, el equipo tuvo que convencer a los participantes en el estudio para hicieran sus deducciones sin pensar en números. Kenneth Norman, otro de los investigadores, estaba convencido de que si los participantes se enredaban en cálculos, fallarían. Pero señala que nuestro cerebro es mucho más eficaz en “los cálculos implícitos que en los cálculos explícitos”.

Para estudiar estos cálculos implícitos, el equipo siguió la actividad cerebral de los participantes a medida que exploraban un “safari park” dividido en cuatro zonas virtuales: azul, verde, rosa y amarilla. Cada zona contenía diferentes animales: elefantes, jirafas, hipopótamos, leones y cebras. La tarea consistía en obligar al cerebro a utilizar las observaciones anteriores para decidir en cuál de las cuatro zonas coloreadas sería más fácil encontrar una combinación de esos animales. Por ejemplo, a un participante le mostraban dos leones y una cebra, y le preguntaban si era más probable encontrar esa combinación en la zona verde o en la azul. Al obligar a los participantes a elegir entre dos zonas que no eran los más propicias para encontrar a cada uno de los animales, los investigadores pudieron medir cómo rastrea el cerebro las probabilidades relativas de las cuatro zonas.

Debido a que cada animal aparecía de vez en cuando en todas las zonas, los participantes no podían señalar inequívocamente una sola zona, ni eliminar otra. Un grupo de dos cebras y un león podrían sugerir la zona verde, donde ambos animales son los más comunes, pero esos tres animales podían aparecer en cualquier zona y la adición de un hipopótamo al grupo podían hacer que la zona verde fuera la localización más probable.

Si a estas alturas se ha perdido…. No desespere. La buena noticia es que el cerebro de forma intuitiva puede dar con la solución. Al menos, eso es lo que ocurrió en la prueba a la que fueron sometidos los participantes, que fueron capaces de elegir correctamente de forma consistente la zona en la que con más probabilidad podría encontrarse un grupo concreto de animales. Es más, aseguran los investigadores que “la precisión de los participantes no disminuyó a la hora de elegir entre dos zonas que no eran los más probables, lo que indica que podían realizar un seguimiento de la probabilidad relativa de las cuatro zonas”.

Para localizar dónde el cerebro lleva a cabo “esta hazaña”, los investigadores hicieron que los participantes realizan la tarea mientras se sometían a una resonancia magnética funcional, que revela las regiones del cerebro más activas en un momento dado. Y encontraron que era precisamente la corteza orbitofrontal la que aparecían más activa, una región del cerebro implicada en la realización de planes complejos, advertir si un entorno o situación ha cambiado desde la última vez, y la elaboración del pensamiento de orden superior. Los hallazgos apoyan las hipótesis anteriores de que esta región del cerebro está implicada en flexibilidad intelectual.

“Tener un cerebro capaz de entender que el mundo funciona de forma diferente en diferentes situaciones, debió suponer una ventaja adaptativa para nuestros antepasados. Y eso es lo que la corteza orbitofrontal parece hacer”, señalan. Por lo visto, nuestro cerebro lee a la perfección el lenguaje matemático en el que, en palabras de Galileo, está escrita la naturaleza.

Fuente: www.abc.es

Aprender matemática haciendo pan: así enseña los decimales este profesor

30/09/2019

“El objetivo de la clase de hoy es relacionar los números decimales con la vida diaria, trabajando en equipo”, dice el profesor y director Ruperto Pizarro Leyton antes de iniciar la clase con un grupo de quinto básico. Son las 10:30 a. m., y en el comedor de la Escuela Edmundo Vidal Cárdenas -un establecimiento ubicado en Valle del Elqui, al norte de Chile- más de 20 niños vestidos de chef, algunos con gorros de papel hechos por ellos mismos, escriben el objetivo antes de meter las manos a la masa.

Hay varias mesas con grupos de tres o cuatro personas; empiezan a mezclar agua, harina de trigo, sal y margarina. Uno se dedica a ver la medida exacta de agua, otro a calcular cuánto necesitan de margarina o sal y otro a ir echando la cantidad exacta de harina, mientras algunos amasan. Y aunque esto parece una clase de cocina, no lo es, es una clase de matemática. Mejor dicho, de etnomatemática.

“Una forma sencilla de explicar la etnomatemática, es decir que se trata de un proceso en el que se toma la cultura local y se trata de buscar dónde está inserta la matemática. Es una forma de acercar la matemática y de aprender haciendo. La etnomatemática viene a entregarnos la oportunidad de aprender esta ciencia exacta con la cultura que hemos vivido, con lo que estamos viviendo o con lo que viviremos”, explica Ruperto.

Por eso, en esta clase los estudiantes están haciendo churrascas, un pan chileno que es muy fácil de preparar y no necesita horno.

Este pan le ha servido al profesor para explicar los número decimales y para todos los estudiantes, es un alimento cercano y diario. “Al trabajar en un contexto en el que existe 90% de vulnerabilidad, pasa que muchos de ellos tienen como comida principal el pan y uno de los más baratos y sencillos, es la churrasca. Y si ellos no han hecho churrascas, seguro han visto a su madres o abuelas hacerlas”, asegura el profesor.

En una clase anterior, Ruperto le explicó a sus estudiantes la parte teórica de los números decimales.
Y ahora, en esta clase, se enfrentan a medidas como 1,5 cucharaditas de sal o hacer cálculos de cuánta harina necesitan para hacer 10 panes, si con 500 gramos se pueden hacer aproximadamente seis panes. Calculan, mezclan, amasan, prueba y aprenden mientras hacen.

Afuera está una parrilla encendida y lista para cocinar los panes; luego se sientan, le echan palta (aguacate) al pan y comparten. Así está por terminar una clase donde cada uno analiza sus resultados. El porqué salieron 8 panes en vez de 10, el porqué la masa salió con tantos grumos y algunos hasta están ansiosos por llegar a casa, para mostrarle a sus familiares que ya saben hacer churrascas.

Esta es una práctica que Ruperto ha aplicado desde 2008, año en el que se enteró del concepto de la etnomatemática.

Todo empezó cuando fue invitado por la Red de Maestros del Ministerio de Educación de Chile a hacer un trabajo de arte con la Cineteca del Centro Cultural Palacio de La Moneda. Al empezar a investigar, preguntó sobre la posibilidad de combinar matemática con el arte y entonces, vivió su primera experiencia etnomatemática sin darse cuenta.

“Ahí empezó mi curiosidad, empecé a investigar y me encontré con algunos grupos en Chile que tienen tiempo trabajando con la etnomatemática, muy enfocados en la geometría. Desde entonces la empecé a aplicar y busqué estrategias para aplicarla en varias áreas de la matemática. Y en mis estudios de la Universidad de Granada en España, conocí varios maestros que trabajaban la etnomatemática a nivel mundial y ahí descubrí que existe una asociación de profesores de matemática que realizan este tipo de acciones”, cuenta. Desde entonces, la premisa de Ruperto es enseñar haciendo y demostrarle a sus estudiantes que la matemática está en todo.

“Para hacer clases de etnomatemática, lo primero que necesita un profesor es apropiación curricular. Al hacerlo pueden ir, volver y transformar”.

Con esto, Ruperto quiere decir que es importante saber perfectamente cuáles son los objetivos del aprendizaje de cada nivel y que al hacerlo, es más sencillo tratar de buscar actividades en las que los estudiantes puedan hacer matemática con su contexto. Para Ruperto es importante tomar en cuenta todas las variables, desde la existencia de pueblos originarios en el sector, hasta tipo de alimentación y culturas familiares.

“Otro ejemplo que puedo entregar es que si yo estuviera dando clases en la ciudad chilena de Chimbarongo, famosa por sus artesanía en mimbre, tomaría los cestos e invitaría a familiares que han dedicado su vida a tejer cestos y con eso podríamos trabajar geometrías, ver los lados de la figura geométrica y revisar todas las formas que se van formando al hacer estos cestos. La idea es siempre tratar de relacionar la matemática con los episodios que estamos viviendo o viendo a diario”, asegura.

Una de las experiencias más conocidas de las clases de Ruperto en el colegio, es el trabajo de la unidad de fracciones con pizzas o con frutas. Y el año pasado, por ejemplo, trabajó los cuerpos geométricos replicando una experiencia que vio en Internet de un colegio mexicano, en el que los estudiantes hicieron unos autos al estilo de Transformers, hechos con cartones y material reciclado. La idea fue replicar cuerpos 3D, trabajar áreas, perímetros y diversas figuras geométricas.

“Para mi es importante que se vea cada momento de la vida como una oportunidad de aprendizaje. Ir al supermercado es una oportunidad de aprendizaje, la tecnología es una oportunidad de aprendizaje, y el celular con toda la información que éste tiene. Y como profesores tenemos que estar atentos a todo lo que pasa alrededor de la vida de nuestros estudiantes. También es importante que los profesores salgamos a conocer la zona donde está el colegio y estemos siempre dispuestos a hacer del aprendizaje algo divertido”, aconseja Ruperto.

Fuente:

Concluye con éxito XXI olimpiadas de matemáticas de Centro América y el Caribe

24/06/2019

Veinte estudiantes se alzaron con las medallas de oro, plata y bronce; nueve obtuvieron mención honorífica

Concluyó con éxito y gran entusiasmo las “XXI Olimpiadas de Matemáticas de Centroamérica y del Caribe”, con la participación de más de 150 estudiantes de 13 naciones, y que contó con el auspicio del Ministerio de Educación (Minerd).

En el evento, que inició el pasado lunes y se desarrolló hasta el viernes 21 de junio,veinte estudiantes se alzaron con medallas: cuatro de oro, nueve de plata, catorce de bronce, además de otros nueve merecieron mención de honor. Los ganadores también recibieron un diploma que los certifica como victoriosos del concurso.

Los estudiantes Hermen Serra Martell, de Cuba; Karla Rebeca Munguía Romero y Daniel Alejandro Ochoa, de México y José Manuel Cabrera Guardado, de El Salvador se coronaron con la Medalla de Oro.

En tanto que los estudiantes Jorge Eduardo Ortega, Lorenzo Sarria y Nicolás Pérez de Colombia; Javel Resendiz Aguirre, de Cuba; Francisco José Villeda, de Honduras; Jacobo de Juan y Luis Martínez, de México; Emerson Martínez, de El Salvador y Francisco Javier Molina, de Venezuela, alcanzaron la presea de plata.

Asimismo, con la medalla de bronce se coronaron Alejandro Escorcia, de Colombia; Nicole Lipschitz y Leonardo Loría, de Costa Rica; Francisco Préstamo, de Cuba; Ezra Guerrero y Erick André Irias, de Honduras; Oscar Yamil Espinoza y Dayton Josué Baldizón, de Nicaragua; Alejandro Aguilar, de Panamá; Rafael Ángel Gómez y Nicolás Proskauer, de Puerto Rico; Fernando Daniel Domínguez, de El Salvador; María Ángeles Chiquinquirá Mavárez y Mariel Mavárez, de Venezuela.

Los reconocidos con mención de honor fueron los estudiantes dominicanos Amelia Ysaac y Ángel Tomás Ureña; José Rodolfo Balcárcel, de Guatemala; Jaheim Sanjay Harris y Kyle Henry John Pratt, de Jamaica; Dayton Baldizón, de Nicaragua; Ana Lucia Maza, de Panamá; Diego Rivera Orona, de Puerto Rico y Maryorie Cabrera, de El Salvador.

El objetivo de esta competencia es promover la participación de los países de la región en concursos olímpicos de matemáticas, además de identificar talentos para esta disciplina, así como fomentar el intercambio de experiencias académicas para fortalecer las relaciones bilaterales entre las naciones.

En el evento participaron delegaciones de Colombia, Puerto Rico, Guatemala, Cuba, Jamaica, Honduras, Venezuela, Panamá, Nicaragua, El Salvador, México, Costa Rica y República Dominicana como país anfitrión.